基于JMAG的表贴式三项永磁同步电机仿真分析

基于JMAG的表贴式三项永磁同步电机仿真分析

我也不是电机专业的学生，我的JMAG也不是特别会用，放上一些公式的目的还是为了显得有一点的知识含量，不过怎么说，还是水平有点次的，出错的可能性不小，还请各位大佬原谅！

概述

JMAG是由日本公司JRI Solutions Ltd.开发的一款计算机辅助工程(CAE)软件，专门用句电磁场仿真和电磁设备设计。其主要功能是通过有限元方法(Finite Element Method, FEM)对电磁场进行数值求解，它可以模拟和分析各种电磁现象，例如电机、发电机、变压器、传感器、电磁阀等电磁设备的性能和行为。JMAG允许用户创建复杂的三维电磁场模型，并允许自定义材料属性、几何形状和边界条件，并设置设当的电磁激励。此外，JMAG可以模拟电磁设备的性能，如电机转矩、发电输出功率等等，为设计进行参数的优化调整，改进设备性能。JMAG还提供了强大的可视化工具，可以直观地显示电磁场分布、磁力线、流线以及其他相关参数，有助于用户对仿真结果进行分析和理解。

表贴式三相永磁同步电机（Surface-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor，SPMSM）是一种常见的电机类型，它结合了永磁同步电机和电机转子的设计特点。SPMSM电机的特点如下：

• 结构：SPMSM的转子上安装有永磁体，通常是稀土永磁材料，如钕铁硼（NdFeB）。这些永磁体通常以磁体块或磁体磁钢片的形式固定在转子表面上，因此得名为表贴式（Surface-mounted）。
• 工作原理：SPMSM的运行原理与其他永磁同步电机相似。通过在定子上施加三相交流电源，产生旋转磁场。永磁体上的磁场与定子磁场交互作用，从而产生转矩。由于永磁体的存在，SPMSM具有较高的转矩密度和效率。
• 控制方式：SPMSM通常采用矢量控制或直接转矩控制来实现精确的转矩和速度控制。这些控制策略利用电流和转子位置信息来控制电机的运行。
• 优点：SPMSM相比其他类型的电机具有一些优点。首先，由于永磁体的使用，它具有较高的转矩密度和功率密度，使其在相同尺寸下可以提供更高的功率输出。其次，永磁体的存在使得SPMSM具有较高的效率，因为减少了转子中的损耗。此外，SPMSM还具有响应快、控制精度高和起动性能好等优点。
• 应用：SPMSM广泛应用于各种领域，包括工业驱动、电动汽车（EV）和混合动力汽车（HEV）、家用电器等。其高效性、高功率密度和良好的控制特性使其成为许多应用中的理想选择。

总而言之，表贴式三相永磁同步电机是一种结构简单、功率密度高、效率优越的电机类型，其广泛应用于各种领域的驱动和动力系统中。

在本次作业中，都将使用JMAG-Express进行电机的基本设计以及使用JMAG-Designer进行电机的仿真分析。为搭建一个具有共性的表贴式三相永磁同步电机，下述所有的设计均以JMAG-Express中的Brushless motor(SPM)条目下的PM_I_D_S2.2，其拥有如下的特质：

• PMSM（Permanent Magnet Synchronous Motor）：该电机是一种永磁同步电机，其中转子上使用永磁体来产生磁场，与定子的旋转磁场相互作用以产生转矩。
• 内转子（Inner Rotor）：说明电机的转子位于定子的内部，即转子在定子内部转动。
• 分布式绕组（Distributed Winding）：这表示电机的绕组是分布在转子上的，通常是通过将绕组线圈分布在转子的槽中。
• SPM（Surface-mounted Permanent Magnet）：这表示永磁体是表贴式安装在转子表面的。

该电机模板符合分析的要求，故以此为后续分析的模板。在电极的形状设计中，除了涉及分析的参数，大部分参数都不会改变。电机结构参数如表1所示。

参数	说明	值(mm)
OUTD	外直径	90
GAP	定转子间隙宽度	0.5
Gap Type	定转子间隙类型	Fix
HEIGHT	电机堆叠高度	40
stator	定子类型	so 001
SLOTS	槽数	12
SD1	外直径	90
SD2	内直径	50
SW1	槽间齿宽	5
SW2	槽口宽度	11
SW4	铁心距外宽度	6
ST	齿柄深度	1
STD1	轴向倾斜长度	2
SF1	齿顶半径	0.2
SF2	槽底半径	0.8
spm rotor	转子类型	rotor 01
POLES	极数	4, 8, 10
RD1	外直径	49
RD4	铁心外直径	35
MW	磁极间隙	1

根据上述参数，以4极表贴式三相永磁同步电机为例，上述参数在该电机中的实际含义如图1所示。

此外，关于定子绕组方面，均采用星形连接的方式，连接方式也是一种常见的三相电路连接方式，具有较高的连接可靠性，并且有利于平衡负载。其连接方式如图2所示。

基本原理分析

坐标变换

两相旋转坐标系$\{d,q\}$是分析永磁同步电机的一个常用坐标系，相较于三相交流坐标系$\{a, b, c\}$和两相静止坐标系$\{\alpha,\beta\}$，dq坐标系将交流转化为了直流分量，是电机控制中常用的坐标系，可以将磁动势、电压、电流从三相的交流量转化为直流量，拥有稳定的磁场和电场。

Clark变换可以从三相静止坐标系$\{a,b,c\}$转化为两相静止坐标系$\{\alpha,\beta\}$，其变换为

$$\begin{bmatrix} i_\alpha\\ i_\beta \end{bmatrix} =\frac{N_3}{N_2} \begin{bmatrix} 1&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\\ 0&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{bmatrix}$$

其中，根据恒功率变换原则，匝数比$\dfrac{N_3}{N_2}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$。

Park变换可以将两相静止坐标系$\{\alpha,\beta\}$变化到两相旋转坐标系$\{d,q\}$，其匝数不变，故其变换为

$$\begin{bmatrix} i_d\\ i_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\varphi_s&\sin\varphi_s\\ -\sin\varphi_s&\cos\varphi_s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_\alpha\\ i_\beta \end{bmatrix}$$

其中$\varphi_s$是$d$轴和$\alpha$轴的夹角，是不断变化的。

结合上述的Clark和Park变换，可以得到从三相静止坐标系$\{a,b,c\}$变化为两相旋转坐标系的转换矩阵为

$$\begin{bmatrix} i_d\\ i_q \end{bmatrix} =\sqrt{\dfrac{2}{3}} \begin{bmatrix} \cos\varphi_s&\cos(\varphi_s-\dfrac{2\pi}{3})&\cos(\varphi_s+\dfrac{2\pi}{3})\\ -\sin\varphi_s&-\sin(\varphi_s-\dfrac{2\pi}{3})&-\sin(\varphi_s+\dfrac{2\pi}{3}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{bmatrix}$$

下面的分析都将在两相旋转坐标系$\{d,q\}$中进行分析。

永磁同步电机数学模型

相较于普通的三相同步电机而言，三相同步永磁电机由于已经拥有的永磁体，故不需要外部电流激励磁场，永磁体可以直接产生足够的磁场以供电机旋转，使其保持电动机状态，这样的改进不仅没有励磁损耗以及与集电环、电刷有关的损耗，而且可以提高功率因数，使电机的标观效率（效率 $\times$ 功率因数） 大为提高，具有显著的节能效果。

关于同步电动机的主要参数，也就是同步电抗$X_d$和$X_q$决定与磁路的磁导，但是由于在直轴磁路中有永磁体，永磁体的磁导率很低，其导磁性能与空气相似，因而大大大大减小了直轴电枢反应的作用，表现为$X_d$较小；而在交轴磁路中，主要是软铁极靴和套环类的磁性材料，导磁性能较好，交轴电枢反应的作用较大，$X_q$较大，因而在永磁同步电动机中$X_d<X_q$。

由于其是一个表贴式三相永磁同步电机也是同步电机的一种，故其转子转速$n$与定子电流的频率$f_1$之间一定满足方程式：

$$n=n_1=\frac{60f_1}{n_p}$$

在永磁同步电机中，其核心磁链方程为

$$\Psi_f=\Psi_c+\Psi_m$$

其中，$\Psi_f$为定子磁链，$\Psi_c$为绕组自身产生的磁链且有$\Psi_c=L_si_s=L_s$，$\Psi_m$是永磁体转子磁链。在dq坐标系下，其表示如下：

$$\begin{cases} \Psi_d=L_di_d+\Psi_m\\ \Psi_q=L_qi_q \end{cases}$$

电压平衡方程

对于表贴式永磁同步电机(SPM)而言，其电压平衡方程为：

$$\dot{U}=\dot{E_0}+r_a\dot{I_a}+jx_t\dot{I_a}$$

其中$\dot{U}$为其终端电压，$\dot{E_0}$为定子反电动势，$r_a$为绕组电阻，$\dot{I_a}$为定子电流，$jx_t\dot{I_a}$代表了定子电流引起的磁势反应将其分解到dq坐标系下，有

$$\begin{cases} u_d=r_ai_d+\dfrac{\text{d}\Psi_d}{\text{d}t}-\omega_e\Psi_q\\ u_q=r_ai_q+\dfrac{\text{d}\Psi_q}{\text{d}t}-\omega_e\Psi_d \end{cases}$$

电磁转矩特性

永磁同步电机的力矩方程为

$$T=p\frac{1}{L_s}\Psi_m\times\Psi_c$$

在dq坐标系下为

$$T=p[\Psi_mi_q+(L_d-L_q)i_di_q]$$

其中$p\Psi_mi_q$是永磁体自身产生的力矩，一般称之为电磁转矩，由于永磁体无需外界励磁，故可以被视为一个常量。$p(L_d-L_q)i_di_q$是由于dq坐标系下的直轴和交轴电感（磁阻）不同导致的力矩，所以也被成为磁阻转矩。

更加细致的分析永磁体自生产生的力矩，也就是电磁转矩$T_{em}=p\Psi_mi_q$，具体到表贴式永磁同步电机上，可以通过以下式子来更精确的确定。

$$T_{em}=\frac{mE_0U}{x_t\Omega_1}\sin\theta=\frac{mpE_0U}{x_t\omega_1}\sin\theta=\frac{mp\Psi_fU}{x_t}\sin\theta$$

其中，$T_{em}$代表电机的电磁转矩，$m$代表相数(在三相电机中为3)，$x_t$代表定子电抗，$\omega_1$代表电机转速，$\theta$代表功率因数角，即电流和电压之间的相位差，$\Psi_f$代表定子磁链。其中各个物理量的相位图如图3所示。

鉴于上述特点，表面永磁PMSM基本运行在恒励磁状态，相应的电动机运行在恒转矩区域，其弱磁调速范围较小。

此外，对于三项同步发电机而言，其额定功率为

$$P_N=\sqrt{3}U_NI_N\cos\varphi_N\eta_N$$

其中，$U_N$为线电压的额定值，$I_N$为线电流的额定值，$\varphi_N$为其功率因数，$\eta_N$为其效率。由于永磁同步电机定子无需励磁，故其功率因数相较于异步电机高出许多，在实验要求的极数情况下，其理论功率因数均能高于$0.95$。

4极表贴式永磁同步电机仿真分析

基于上述理论分析，以及在JMAG-Express中设计的电机模型，将其转移到JMAG-Designer中，便可以方便快捷的进行仿真分析。

磁场强度

磁场强度的观点由磁荷的假设观点提出，单位正电磁荷在磁场中所受的力被称为磁场强度(符号为H)，但是这一定义在磁场分析中所用较少，通常被磁感应强度所代替，但在这里不妨仍以此进行分析，下面的图4展示了JMAG仿真结果中空载和负载情况下的磁场强度。可以看到，两者并无太大的区别，由于磁场强度的定义对数性质十分明显，故较难看出其在定子上的大小变化。但是有一点是确定的，即在永磁体的边角拥有最强的磁场强度。

对于更常分析的磁感应强度（或被称为磁密），其代表了单位面积内通过磁感线的数量，拥有更多的实际研究意义。4极表贴式永磁同步电机在空载和负载条件下的磁密如图6所示。可以看出，磁通最密集的地方在转子间隙所对应的定子外部，这也是磁感线闭合的必然要求。而当转子永磁体间隙转动到对应绕组间隙时候，如图31所示，最大磁密出现在了转子永磁体正对的定子绕组间隙中，最小磁密出现在了转子永磁体正对的绕组后方。

通过JMAG中的探针可以更好的表示其磁密随时间的变化，其中的探针位于$(-10,40)$的位置，在电机中即是位于一个定子绕组的外部，其磁密变化如图7所示。可以看到，负载的加入为磁密添加了高次谐波，使得其偏离的在原本的正弦基波上产生了一定波动。

反电动势及其谐波

在无负载的情况下，由于产生的电流较小，导致绕组压降较小，此时若在三相绕组后串联三个电压表，其测得的电压可以近似看作空载反电动势。空载反电动势与电机的转速成正比关系。当电机负载较小时，空载反电动势可以作为转速的参考信号。较高的空载反电动势通常意味着较高的转速。因此，空载反电动势的大小可以影响电机的转速特性，如最大转速和转速响应速度。空载反电动势对电机的效率和功率因数也有影响。较高的空载反电动势通常意味着较高的磁场强度和磁通量，从而可以提高电机的效率。此外，空载反电动势还可以影响电机的功率因数，即电机输入功率与输出功率之间的比值。因此，对于空载反电动势的衡量可以评价电机的性能，其空载反电动势曲线如图8所示。

对图8的空载反电动势曲线进行傅里叶分析，便可以得到其反电势谐波。根据同步电机的工作原理可得到如下公式。

$$n=\frac{60f_1}{P}$$

对于默认的转速$n=100rpm$而言，$P=2$的极对数所对应的频率为$f=33.33Hz$，也就是$0.03s$是该电机的电周期。因此，我们将后续所有展示的图片（前提是极对数均为2）的展示时间均设置为$0.03s$。

借此，我们可以进行空载反电动势的谐波分析，可以确定的是，其基波频率应该为$33.33Hz$。其反电动势傅里叶分析如图30所示。可以看到，其中最为主要的谐波分量是基波和三次谐波，此外还参杂了部分奇次谐波，但是基本上没有偶次谐波的分量，这主要是由于永磁体的特性导致的，具有极高周期性的磁场只会产生奇次谐波。而偶次谐波分量的产生通常是由于非线性磁路特性或非理想的定子绕组结构引起的，而永磁同步电机的磁路通常是线性的，定子绕组结构也相对简单，因此反电动势中的偶次谐波分量较少。

转矩及转矩脉动

在空载情况下，由于没有负载元件，其理论转矩几乎为0，故在此也不进行过多的分析。但是在负载的条件下，转矩分析就变得有意义了，转矩的大小直接决定了电机的负载能力，同时决定了电机的转速上限，保障了电机的加速以及减速能力。在负载状态下，给定三相定子电流以$A=10A$的峰值电流，频率$f=180Hz$，初始相位$\theta=0$，此时三相电流分别为

$$\begin{cases} I_u=A\sin(2\pi ft+\theta)\\ I_v=A\sin(2\pi ft+\theta-\dfrac{2\pi}{3})\\ I_w=A\sin(2\pi ft+\theta+\dfrac{2\pi}{3}) \end{cases}$$

以上述电流为三相定子电流，可以得到图9中所示的负载转矩和空载转矩（三相定子电流几乎为0）。可以看到，其负载转矩呈现出类似于正弦波的波动但是其周期并不完全符合三角函数的周期，存在其他的波动使其周期产生变化，而其空载转矩仅在$0.6Nm$之内的范围内波动。

如图9所示，转矩在一定范围内上下的波动也被称为转矩脉动，转矩脉动越大，则会导致系统越不稳定，同时大的抖动也会影响其性能，降低其负载能力。就上面搭建的电机而言，我们可以分析其负载转矩脉动，其公式为

$$\Delta T=\dfrac{T_{max}-T_{min}}{\overline{T}}$$

计算得到，该电极负载情况下的转矩脉动为0.246。

此外，对于转矩而言，还有一个性能是非常重要的，即转矩从空载到满载的变化关系，也就是对其输入一个类似阶跃信号的负载后，电机的转矩变化是如何的，这也是电机的一个重要性能指标。在此，我们对电机输入一个阶跃信号，即三相定子电流从$0A$突变到$10A$，其输入的三相电流如图26所示，其转矩变化如图27所示。可以看到，其转矩在输入阶跃信号后，经过一段时间的上升，最终稳定在了一个较为稳定的值上，这个值就是电机的满载转矩，也是电机的一个重要性能指标。

理论而言，其转矩可能会出现一定的超调量和调节时间的变化，但是实际好似并没有出现这样的情况，这可能是由于电机的转矩脉动较大，导致其转矩的变化并不是十分明显，故无法观察到这样的现象。

负载电功率

负载电功率是指电机向外部负载提供的功率，它直接关系到电机的输出能力和效率。当负载电功率增加时，电机需要提供更大的输出转矩来满足负载需求，从而使电机工作在更高的负载条件下。这可能导致电机转速下降，因为更大的转矩会消耗更多的电能。同时，电机的效率也可能下降，因为在提供更大输出功率的同时，输入电功率的损耗可能会增加。因此，负载电功率的增加对电机性能产生了双重影响，既增加了电机的负载能力，又可能降低了电机的效率。

空载情况下，由于三相定子电流几乎为0，且空载的意义即是没有负载，故不考虑其负载电功率。而在负载情况下，同样是在三相定子电流为$A=10A,f=180Hz,\theta=0$的情况下，其各项以及总计的电功率如图10所示。可以看到，其电功率存在一定的波动，也是类似于正弦波动，但是其相位之差并没有类似于三相定子电流那样占满一个完整的周期，而是波峰和波谷集中在一个周期的特定范围内。

对于三相表贴式永磁同步电机而言，其输入功率为

$$P_1=mUI\cos\varphi=mUI\cos(\psi-\theta)=m(UI_d\sin\theta+UI_q\cos\theta)$$

由图3所示的向量图可知

$$\begin{cases} \psi=\arctan\dfrac{I_d}{I_q}\\ U\sin\theta=r_1I_d+X_qI_q\\ U\cos\theta=E_0+r_1I_q-X_dI_d \end{cases}$$

故可以推得

$$\begin{cases} I_d=\dfrac{r_1U\sin\theta+X_q(E_0-U\cos\theta)}{r_1^2+X_dX_q}\\ I_q=\dfrac{X_dU\sin\theta-r_1(E_0-U\cos\theta)}{r_1^2+X_dX_q} \end{cases}$$

将其代入式16中，可以得到

$$P_1=m[I^2r_1+I_qI_d(X_q-X_d)+E_0I_q]$$

忽略定子电阻的影响，可以得到

$$\begin{array}{rl} P_{em}&\approx\dfrac{mX_dX_q}U\sin\theta[(E_0-U\cos\theta)(X_q-X_d)+E_0X_d]\\ &=\dfrac{mUE_0}{X_d}\sin\theta+\dfrac{mU^2}{2}\left(\dfrac{1}{X_q}-\dfrac{1}{X_d}\right)\sin2\theta \end{array}$$

气隙磁密

三相表贴式永磁同步电机的气隙磁密是指在电机转子和定子之间的气隙中的磁场密度。其对性能拥有十分直观的影响。在永磁同步电机中，空载气隙磁密可以近似为矩形波，这与JMAG仿真所得到的结果是一致的，如图24所示，展现了它在空载情况下的气隙磁密，图25展示空载情况下气隙磁密的傅里叶分析结果。值得注意的是，在其傅里叶分析中，其谐波分量仅有大量的奇次谐波，而没有几乎偶次谐波，这与其类似矩形波的特性是一致的。

对图24中的波形进行傅里叶分解后可以得到所示的基波磁密，其幅值为

$$B_{\delta 1}=\frac{4}{\pi}B_{\delta}\sin\frac{\alpha_i\pi}{2}$$

其中，$B_{\delta 1}$为气隙磁密基波峰值，$B_\delta$为矩形波的峰值，$\alpha_i\pi$为矩形波一个周期内在0之上的时间，这里我们可以引入一个系数，即气隙磁密波形系数，定义为空载气隙磁场中基波磁密幅值与气隙磁密最大值的比值，即

$$k_{f}=\frac{B_{\delta 1}}{B_{\delta}}=\frac{4}{\pi}\sin\frac{\alpha_i\pi}{2}$$

该系数可以用于后续的分析。

双层绕组的永磁同步电机绕组结构对比分析

不同绕组方式分析

双层绕组是指在永磁同步电机的转子中，绕组分布在两个不同的层次上。这种绕组结构可以提高电机的磁场分布均匀性和电磁转矩密度。

双层绕组的优点是可以减小转子的磁阻，提高电机的效率和输出功率。此外，双层绕组还可以降低转子的漏感应电动势，减少转矩脉动，并提高电机的转矩平滑性和运行稳定性。因此，双层绕组被广泛应用于高性能永磁同步电机中。

在4极表贴式永磁同步电机的设计中，如表1所示，其槽数$Q=12$，极对数$p=2$，使用槽数表示其极距即为

$$\tau=\frac{Q}{2p}=3$$

故对于4极表贴式永磁同步电机而言，受限于极距$\tau$其双层绕组结构仅允许三种绕组节距$y$，分别是$y=1$的集中式绕组、$y=2<\tau$的短距式绕组和$y=3=\tau$的整距式绕组，其绕组方式如图11所示。由于极对数$p=2$，故若按每极每相槽数分类，三种绕组方式均为整数槽分布式绕组。

空载反电势及其谐波对比分析

正如上文所提，空载反电势是衡量电机性能的一个重要指标，对于不同的绕组方式，其在空载情况下的反电动势曲线必然有所不同。三种绕组方式的反电动势曲线如图12所示。从图中可以看出，虽然绕组方式有所不同，但是其周期并不存在任何相位和频率的差距，也就是大致的波峰对应波峰，波谷对应波谷。但是具体到其形状而言，$y$从小到大，曲线在波峰和波谷保持的时间越长，最大值也越大，同时曲线在0附近保持的时间越来越短。但总体而言，其在趋势上的区别不大。

但是若把三相电压代数加和起来，情况则完全不一样。图13展示了三种节距下的三相电压的代数和。可以看到，集中式绕组$y=1$和整距式绕组$y=3$的电压代数和相位完全相反，而短距式绕组$y=2$的电压代数和始终保持为0，没有正弦波动。由于三相反电动势均为相量，而电压表记录的数据仅是它们在实轴上的分量，这样的代数和分析可能没有太大的实际意义，但是这一现象的出现仍然可以引起注意。由于绕组方式和转子设计多种多样，目前暂未有能够通过理论计算的方法计算得到永磁同步电机的方法，更基本而言，目前对于永磁体磁链的数值主要还是通过实验而非计算的方式获得。也就是说，更有可能的情况是，节距为2的双层绕组正好在切割永磁体磁感线的时候所有切割均被抵消，从而使得三相电压的代数和为0。当然，这与槽数和极对数的关系是密不可分的，是绕组方式与极对数共同决定出来的结果。

对永磁同步电机的空载反电势进行谐波分析的主要目的是评估电机在实际运行中可能出现的谐波问题，并采取相应的措施进行补偿或抑制。谐波是指频率是基波频率整数倍的电信号成分。在永磁同步电机中，空载反电势是电机产生的电势，其频谱包含了多个谐波成分，其中最为主要的一定是电角度的周期性。此外，由于绕组方式的不同，还会产生在其他频段上的一些周期性。这些谐波对电机性能起到了较大的影响。

在这里，可以引入单匝线圈的基波节距因数的概念，其定义为

$$k_{p1}=\sin\frac{y_1\pi}{2\tau}$$

其中，$y_1$为单匝线圈的节距，$\tau$为极距。对于4极表贴式永磁同步电机而言，其极距$\tau=3$。据此可以进行单匝线圈电动势有效值$E_{c_1(N_c=1)}$的计算，即

$$E_{c_1(N_c=1)}=2E_1\sin\frac{y_1\pi}{2\tau}=4.44fk_{p1}\varPhi_1$$

其中，$E_1$为单匝线圈的电动势峰值，$f$为电机的频率，$\varPhi_1$为单匝线圈的磁链峰值。对于定性的判断而言，我们可以算出，当$y\le\tau$时候，有如下的系列关系：

$$E\propto k_{p1}= \sin\frac{y\pi}{2\tau}$$

也就是说，当$y\le\tau$时，空载反电势随着节距的增大而增大，并且随着$y$越接近$\tau$，空载反电势的增大幅度越不明显。这一结论与图12中的曲线趋势是一致的。

针对以上三种绕组方式的反电动势，计算其傅里叶级数并对其进行傅里叶变换，便可以找到蕴含其中的周期性。针对上述3种绕组方式的V相电压(其余两相与V相仅存在相位的不同)，其傅里叶级数展开后的各次系数如表2所示，由于偶次谐波分量均近乎为0，故仅考虑奇次谐波分量。傅里叶变换如图14所示。

谐波次数	$y=1$绕组	$y=2$绕组	$y=3$绕组
1	1.9030	3.3361	3.8645
3	-2.2585	-0.0039	2.3845
5	0.0408	-0.2872	0.2992
7	0.0189	-0.0981	0.0844
9	0.0271	0.0009	0.0447
11	-0.0026	-0.0023	-0.002
13	-0.0326	-0.0384	-0.0441


从表2和图14中可以看到，三者波形中最大的区别即是在基波和3次谐波以及5次谐波上面，短距式绕组$y=2$的3次谐波系数几乎为0，而其他二者均为一个较大的值，集中式绕组$y=1$的5次谐波仅为另外二者的$1/5$左右。尤其是3次谐波上的差别是导致短距式绕组$y=2$的三相代数和为0的最大归因。

同时其基波（一次谐波）的系数也基本呈现出了$\sin\dfrac{\pi}{2}\dfrac{y}{\tau}$的趋势，这也与上述的定性分析是一致的。

转矩及转矩脉动对比分析

使用上述方法进行分析后，可以快速得到各个不同绕组对负载和空载转矩的影响情况，如图15所示。该图中的负载转矩测量情况都是一致的，即输入的三相电流是一致的，它们都以$10A$为其峰值电流，周期为半个机械角度，也就是机械角度变化$180^{\circ}$，电角度变化$360^{\circ}$。

可以看到，三者的空载转矩均在$\pm0.6$的范围内波动，并且呈现出相位的差异，仍然是短距式绕组$y=2$和其他两种绕组方式的转矩产生了$180^\circ$的相位差。但关注到负载转矩方面，其波形与空载转矩一致。但是观察可以得知，随着节距$y$的增大，平均负载转矩呈现出一个逐渐升高的态势，尤其是整距式绕组的负载转矩甚至达到了集中式负载转矩的2倍。这充分说明，负载转矩的大小与绕组方式有关。

在负载转矩脉动方面，其可以反映转矩的平稳程度，是电机的一个重要性能指标，对于3种绕组方式而言，其负载转矩脉动分别为$0.719$、$0.319$和$0.268$。其实本质而言，三者在转矩差值大小上的差异并不大，分别为$1.40Nm$、$1.08Nm$和$1.05Nm$，引起其转矩脉动差异大的主要因素还是平均幅值的大小。

根据公式(10)，我们可以知道，表贴式三相永磁同步电机的电磁转矩特性为$T_{em}=\dfrac{mp\Psi_fU}{x_t}\sin\theta$。将其转化到三相静止坐标系下，根据机电能量转换原理，电磁转矩等于磁场储能对转子机械角位移的偏导，故可以导出如下公式。

$$\begin{array}{rl} T_e=&\dfrac{P_n}{2}\dfrac{\partial(i_{3s}^T\cdot\psi_{3s})}{\partial\theta}\\\\ =&\dfrac{P_e}{\omega_m}=\dfrac{P_e}{(\omega_e/P_n)}=\dfrac{P_e}{(2\pi n/60)}=9.55*\dfrac{P_e}{n} \end{array}$$

其中，$P_n$代表电机的额定功率，$P_e$代表电机的输出功率，$\omega_m$代表电机的机械角速度，$\omega_e$代表电机的电角速度，$n$代表电机的转速(rpm)。可以看到电机的输出转矩与电机的定子磁链$\psi_{3s}$是呈现高度相关的，也就是与绕组其绕组呈现出较高的相关性。但是对于定子磁链而言，我们难以做到有效的计算。但是我们可以通过电机的反电动势来近似的计算其定子磁链，即$\psi\propto\int E$。也就是说，磁链的大小与电机的空载反电势积分成正比。而电磁转矩又与磁链成正比，也就是说，$T_e\propto E$回到图12中，$y=3$的反电势是最大的，而$y=1$时候的反电势是最小的，这也就应证了图15中的负载转矩大小情况，扩充我们在式17中得到的定性正比关系，有如下的系列关系：

$$T_e\propto E\propto k_{p1}= \sin\frac{y\pi}{2\tau}$$

对于空载转矩脉动而言，由图15可知，它们的波形都是近乎一致的，并且由于其拥有相同的周期和近乎相同的幅值变化，所以判定，不同绕组方式对转矩脉动仅产生相位上的变化，而近乎不会产生转矩脉动幅值上的变化。不过还须说明的是，上述分析实际是不完整的，其还存在其他的限制原因，最主要的是采样频率的限制，受限于电脑性能，难以做到长时间大规模的JMAG仿真分析。这也会在一定程度上影响显示出来的波形。

同样的，我们还能够继续考虑转矩从空载到负载产生突变时的情况，如图28所示，我们给予三个电机与图26一样时间变化的三相电流输出，并期望观测其出现较为明显的超调量等变化，然而，由于设置原因或是其他仿真细节上的不当，阶跃电流信号的输入仍然只能够带来迅速且无超调量的转矩变化。

电功率对比分析

对于三种绕组方式的电功率对比分析，也可以采用在任务1中对电功率的分析方法进行分析。分别按照U相，V相，W相的功率分析方法，我们可以得到图16所示的功率-时间图。

从图16中可以看到，三相电功率波形是与三相反电动势波形大体类似的，它们具有相同的相位，在大体的趋势上也一致，也就是整距式绕组$y=3$的在一个周期内的做功面积最大，而集中式绕组$y=1$在一个周期内的做功面积最小，其还是由于集中式绕组$y=1$功率在过了最高点后迅速降低为0导致的。在波形上，其还是存在一小部分的差距，集中式绕组的最高功率基本位于高功率段的中间，但是短距式绕组的最高功率位于高功率段的末尾，整距式绕组的最高功率位于高功率段的开始。

根据上述电磁转矩特性与电功率的关系，我们可以得到如下公式。

$$P_e=\frac{n}{9.55}T_e$$

对于进行仿真的几个实验而言，其转速均为$n=1000r/min$，故负载电功率的大小理应该是负载转矩的100倍左右，比较图15和图16不难看出，其确实呈现了近100倍的差距，说明式15的推断是适用于这一情况的。

在这里，还可以继续扩充我我们在式19中得到的定性正比关系，有如下的系列关系：

$$P_e\propto T_e\propto E\propto k_{p1}= \sin\frac{y\pi}{2\tau}$$

需要注意的是，上述式子并没有一个明确的因果逻辑，仅仅是根据上述的分析得到的一个定性的关系，其具体的因果逻辑还需要进一步的分析。

正如负载转矩那样，在总电功率上，也呈现出了整距式>短距式>集中式的趋势。这说明了，绕组方式的改变可以有效影响电机性能，在双层绕组12槽4极表贴式三相同步电机上，绕组节距的增加可以提高电机的性能。

气隙磁密及其谐波对比分析

对于不同绕组结构的气隙磁密而言，其波形如图32所示，其傅里叶分析如图33所示。就其而言，比较通用的一个方法是通过比较其基波的谐波大小来判别性能的优劣。但其实三者的气隙磁密并没有太大的差别，特别是$y=1$和$y=3$时候，基本上呈现出了一致的气隙磁密和谐波分布，在图32近乎重合。说明其两种绕组方式所产生的效果是近乎相近的。

双层绕组的永磁同步电机极对数对比分析

不同极对数分析

在这里所值的极对数均为转子上的极对数，也就是说，转子上NS极组的数量，但是在JMAG中所采用的值是极数，也就是极对数的两倍，这将方便我们的理解。不同极数的绕组情况如图17所示。除了级数的不同外，三种双层电机在绕组的方式上也有所不同，但相同的特点是它们都是集中式绕组，也就是节距为1的绕组。

空载反电势及其谐波对比分析

使用一样的分析方法，我们限定仿真时间为$0.03125s$，对三种极对数进行空载反电势的分析，其结果如图18所示。

从图18中可以看到，实际而言，其并不具有相同的周期，这主要是由其极对数决定的。三个电机的转速均为$n=1000 r/min$，也就是说，它们的机械角度经过$360^{\circ}$的时间实验一样的，均为$0.06s$。由于电角度和机械角度之间存在如下公式

$$\theta_e=\frac{p}{2}\theta_m$$

其中的$\theta_e$代表电角度，$p$代表极数，$\theta_m$代表机械角度，故可知，随着级数的增加，电角度也将增加，电周期也将缩短。在$n=1000r/min$的情况下，级数为$4,8,10$的永磁同步电机所对应的电周期分别为$0.03s,0.015s,0.012s$。也就是说，在同样的时间长度内，极数越多的转子其反电动势变化越快，因此在这里不宜如此分析，而应该将其规约到一个电周期内进行分析。下面以电角度为横轴，重新绘制其空载反电势图如图19所示。

可以看到，图19显示出来的结果竟与图12的不同绕组方式对比有诸多相似之处。在$p=8$时候，在高反电动势段显示出了明显的高-低-高特征，而$p=10$时，其反电动势曲线反而更加接近一个正弦曲线。由此绘制其反电动势代数和曲线如图20所示。可以看到，正是由于$p=10$时其接近于正弦曲线的特性，故其反电动势的代数和几乎一直为0。

我们仍然采用前面所示的定性的分析方法对这样的成因进行相关性的分析。采用基波节距因数的概念，其定义如公式(15)所示。我们均使用槽去表达极距$\tau$的概念，由于槽数相同但是极对数不同，故节距$\tau$的大小也不尽相同，将上述公式简化可以得到$\tau=\dfrac{6}{p}$，这是由于槽数$Q=12$简化而来的结果。同时，其线圈节距始终为1，故基波节距因数的大小仅于极对数有关，即

$$k_{p1}=\sin\frac{y_1\pi}{2\tau}=\sin\frac{p}{12}\pi$$

后由式16可知，反电动势与基波节距因数成正比，故可以得到如下的定性关系：

$$E\propto k_{p1}=\sin\frac{p}{12}\pi$$

对于极数分别为4、8和10，也就是极对数分别为2、4和5的电机而言，其基波节距因数分别为0.5、0.707和0.866，由于前面的系数暂时无法计算，但是这个比例关系应该是基本成立的。

对上述得到的一个电周期内的反电动势曲线进行谐波分析，也就是傅里叶变化和傅里叶级数的分析，可以得到其对应次数的谐波。其奇次谐波幅值如表3所示，傅里叶变换如图21所示。

谐波次数	12槽4极	12槽8极	12槽10极
1	0.7168	1.2890	1.2316
3	-0.9354	-0.0567	-0.0003
5	0.0205	-1.2532	0.0367
7	0.0140	-0.0401	-0.0567
9	0.03934	0.0510	-0.0001
11	-0.1151	0.2874	-0.0228
13	0.0605	-0.0151	0.0678

不难发现，实际的情况与我们的分析存在一定的偏差，其反电势谐波的基波幅值应该是在极数为10的时候为三个中最大的，但是实际的情况却是极数为8的时候，其基波幅值最大。这可能是由于我们的定性分析中存在一定的偏差，存在其他的因素影响了反电势的大小。但是极数为4时候最小的谐波幅值却是符合我们的分析的，这也说明了我们的分析是有一定的参考价值的。

可以看到，4极转子的空载反电动势在基波以外，附加了一个比较明显的3次谐波，而8极转子附加了一个比较明显的5次谐波，10极转子却除了基波外，几乎没有附加任何的明显的谐波。这是比较意外的，由此似乎可以说明，级数越多，其空载反电势越接近于一个完整的正弦曲线，反而级数越少，越会在其中加入一些不希望的谐波分量。

转矩及转矩脉动对比分析

对于转矩的分析仍然分为空载转矩和负载转矩的分析，重点关注的是负载转矩。负载转矩直接影响到的电机的负载性能。同样的，仍然不以一个固定进行分析，而在一个电周期内进行绘图，如图22所示。

从图22中可以看到最为特殊的是10极转子的转矩，并没有成呈现明显的大周期性，而是在一个稳定值上下波动。而4极转矩和8极转矩都呈现出了明显的周期性。并且可以看到，4极负载转矩的平均值明显低于8极和10极负载转矩。还需说明的是，图22所绘制的负载情况，其输入三相电流均是以空载反电势的电周期为周期输入的，也就是它们在时间上的频率不尽相同。若是以同样的三相电流输入，则它们在转矩上的周期必然不尽相同。也就是转矩脉动不尽相同，其周期由三相电流周期和极对数共同决定。

同样，我们可以以定性的方式进行相关的分析，根据式18，我们可以拓展我们刚才得到的正比关系。

$$T_e\propto E\propto k_{p1}=\sin\frac{p}{12}\pi$$

这也就表明，极对数越多，转矩越大，这与我们刚才的分析是几乎一致的，但是仍然存在极对数为4和5时转矩大小排序存在些许的倒挂的情况。

随后进行的是转矩脉动的分析，使用的方法仍然是转矩的最大值减最小值再除以平均值的分析方法，可以得出三种极对数情况下的转矩脉动，分别是$0.681$，$0.520$与$0.114$，而其转矩最大和最小值的差值分别为$1.322$、$1.798$和$0.374$，这足以说明，$p=10$，也就是极对数为5时，该电机的转矩性能最为优秀。也能够说明，极对数越大，电机的转矩越为稳定。

在转矩对比的最后，我们仍然使用图26的突变的三相电流作为输入，观察电机从空载到满负载的转矩变化情况，如图29所示。在这里，我没有使用相同的电周期来进行分析，而是使用相同的实际时间进行分析，这样分析所得到的结果更加直观，也更加符合实际情况。但是遗憾的是，其转矩回应电流的阶跃响应仍然是一瞬间地，迅速而没有超调量的。

电功率对比分析

仍然以一个电周期为对比的对象，同时输入的三相电流周期也为一个电周期，可以绘制出三者在负载情况下的电功率如图23所示。

可以看到，4极的电功率较为平稳，但是平均功率也最低。8极的电功率与10极近似，但是8极电功率明显更加波动，而10极电功率是最为平稳的。

同样的，我们可以以定性的方式进行相关的分析，根据式19，我们可以拓展我们刚才得到的正比关系。

$$P_e\propto T_e\propto E\propto k_{p1}=\sin\frac{p}{12}\pi$$

这也就表明，极对数越多，电功率越大，这与上述空载反电势以及转矩的分析是几乎一致的。

气隙磁密对比分析

对于不同极数的电机而言，其气隙磁密的周期也是不同的，在JMAG中用来测量气隙磁密的方法是通过在气隙上旋转$360^{\circ}$以进行测量，然而由于极数的不同，这必然会导致其变化周期的不同，以至于无法进行有效的对比分析。因此，我们仅在此进行气隙磁密分析而不进行其谐波分析，其气隙磁密如图34所示。可以看到，其气隙磁密的大小与极数的大小并没有太大的关系，其最主要的幅值也没有什么变化。